“以错纠错”的案例分析

“以错纠错”的案例分析

文／罗增儒

　　在文［1］中，笔者认为：“学生在解题中出错是学习活动的必然现象，教师对错例的处理是解题教学的正常业务，并且，错例剖析具有正例示范所不可替代的作用，两者相辅相成构成完整的解题教学”．下面发生在特级教师身上的“以错纠错”现象，竟能在多家刊物延续十年之久，则促使笔者进一步思考：错例分析可能对教师的教学观念和业务素质都提出了更高的要求．
　　一、出示案例
　　我们先引述3处典型做法．
　　1.早在1990年，文［2］曾对一道数列极限题指出“思维定势在解题中的消极影响”；然后在文［3］、［4］中表达了同样的看法．最近（2001年5月）又在文［5］中将欠妥的认识原原本本发表出来（见原文例4）：
　　例1　若 （3ａ_n＋4ｂ_n）＝8， （6ａ_n－ｂ_n）＝1，求 （3ａ_n＋ｂ_n）．
　　学生对“和的极限等于极限的和”的结论十分熟悉，受其影响，产生了下列错误解法：
　　由

　　得

　　①×2－②，可得
　　 ｂ_n＝15／9，
　　并求得 ａ_n＝4／9．
　　∴　 （3ａ_n＋ｂ_n）＝3 ａ_n＋ ｂ_n＝12／9＋15／9＝3．
　　这是一种错误的解法．因为按照极限运算法则，若 ａ_n＝Ａ， ｂ_n＝Ｂ，则才有 （ａ_n＋ｂ_n）＝ ａ_n＋ ｂ_n＝Ａ＋Ｂ．反之不真，而由 （3ａ_n＋ｂ_n）＝8，
　　 （6ａ_n－ｂ_n）＝1，
　　不一定保证 ａ_n与 ｂ_n存在．比如
　　ａ_n＝4／3＋（1／3）ｎ²，ｂ_n＝1－（1／4）ｎ²，
　　则有 （3ａ_n＋4ｂ_n）＝8，
　　但是ａ_n与ｂ_n均不存在极限．
　　正解： （3ａ_n＋ｂ_n）＝（1／3） （3ａ_n＋4ｂ_n）＋（1／3） （6ａ_n－ｂ_n）
　　＝8／3＋1／3＝3．
　　某些法则或定理，其结论是在限定条件下产生的．如果平时练习，限定条件的问题练多了，就容易忽视限定条件，造成对法则、定理理解的偏差，产生定势思维．教师在课堂教学时，应该把定理、法则成立的条件、适应的范围放在第一位讲，就是让学生认识到条件在结论中的重要地位，把条件与结论等同起来强调，并通过恰当的反例来说明．
　　要克服思维定势的消极影响，就要从加强双基教学入手，加强数学基本思想和方法的训练，排除由于只靠记忆一些孤立方法与技巧而形成的定势，鼓励和引导学生独立思考、探索最佳解题方法，让学生从不同角度多方位地去考虑问题，拓展思维的深度与广度．（引文完）
　　2.数学通报1999年第11期（Ｐ．43）文［6］记述了一次公开课：在一次公开课评比中，有位老师在讲授“数列极限的运算法则”一课时，曾举了这样一个例子（本文记为例2）：
　　例2　已知 （2ａ_n＋3ｂ_n）＝5， （ａ_n－ｂ_n）＝2，求 （ａ_n＋ｂ_n）．
　　当时有位学生提出这样一种解法：
　　解：设 ａ_n＝Ａ， ｂ_n＝Ｂ，则由题设可知
　　 （2ａ_n＋3ｂ_n）＝2 ａ_n＋3 ｂ_n＝2Ａ＋3Ｂ＝5，　　①
　　 （а_n－ｂ_n）＝ ａ_n－ ｂ_n＝Ａ－Ｂ＝2．　　②
　　联立①，②解得
　　Ａ＝11／5，Ｂ＝1／5．
　　∴ （ａ_n＋ｂ_n）＝ ａ_n＋ ｂ_n＝Ａ＋Ｂ＝11／5＋1／5＝12／5．
　　对于上述解法，这位教师结合数列极限的运算法则引导学生提出了问题： ａ_n和 ｂ_n一定存在吗?
　　随后，教师鲜明地指出：由题设我们不能判断 ａ_n和 ｂ_n是否一定存在，从而上述解法缺乏依据，是错误的．关于这类问题，我们常用“待定系数法”求解．
　　另解：设ａ_n＋ｂ_n＝ｘ（2ａ_n＋3ｂ_n）＋ｙ（ａ_n－ｂ_n）（其中ｘ，ｙ为待定的系数），则
　　ａ_n＋ｂ_n＝（2ｘ＋ｙ）ａ_n＋（3ｘ－ｙ）ｂ_n，
　　从而有

　　解之得　ｘ＝2／5，ｙ＝1／5．
　　∴　ａ_n