“以错纠错”的案例分析(4)

β₂－α₂β₁＝0且α₁ｃ₂－α₂ｃ₁≠0，则ａ_n，ｂ_n的极限均不存在．
　　这实质上是两直线相交、重合、平行判别法则的移植或线性方程组理论的简单应用．
　　对比“反例”所表现出来的两个错误根源，我们认为主要还是知识原因，由于教师没有看透题目的数学实质，从而也没有看透学生的错误性质，所进行的大段文字分析缺少数学针对性．所以，对每一个教师而言，提高数学专业水平是一个永无止境的课题．
　　4.试作一个探究性的教学设计
　　本文“以错纠错”的例子，持续了10年以上的时间，发表在多家刊物上，还出现在文［6］正确纠正之后，这对读者、编者和作者都有很多教训，也错过了一个培养学生创新精神的机会．我们愿在例题数学实质较为清楚的时候，提出一个教学设计，分为7步．
　　（1）提出问题，暴露学生的真实思想．
　　其过程是给出例1（或例2、例3等，还可以根据命题2编拟3种类型的例题），让学生得出不完整的解法．
　　（2）反思，引发认知冲突．
　　教师与学生一起检查每一步的依据，发现使用极限运算法则需要 ａ_n、 ｂ_n的存在性做前提．前提存在吗?有两种可能：或举一个反例来否定，或给出一个证明来肯定．
　　（3）分两大组自主探索，自我反省．
　　按照证实与证伪可以分两大组，下分小组，每组三五人，让学生在学习共同体中自主探索，教师巡回指导，这将是一个十分生动的过程．
　　（4）得出 ａ_n、 ｂ_n的求法．
　　这样，学生的求解就完整了．可以分成三步：
　　①求 ａ_n＝…＝4／9；
　　②求 ｂ_n＝…＝15／9；
　　③求 （3ａ_n＋ｂ_n）＝…＝3．
　　（5）进行解题分析，得出改进解法．
　　引导学生认识到：
　　①求 ａ_n、 ｂ_n所使用的方法也可以直接用到求 （3ａ_n＋ｂ_n）上来．
　　②先分别求 ａ_n、 ｂ_n，再合并得结论 （3ａ_n＋ｂ_n）有思维回路：

（3ａn＋4ｂn）（合）			ａn	（分）
（6ａn－ｂn）（合）			ｂn

 （3ａ_n＋ｂ_n）．（合）
　　删除中间步骤，可得
　　 （3ａ_n＋ｂ_n）＝ ［（1／3）（3ａ_n＋4ｂ_n）＋（1／3）（6ａ_n－ｂ_n）］
　　＝（1／3） （3ａ_n＋4ｂ_n）＋（1／3） （6ａ_n－ｂ_n）＝8／3＋1／3＝3．
　　（6）探索一般性．
　　①考虑例1的结论一般化改为，求 （αａ_n＋βｂ_n）；
　　②考虑条件、结论均一般化，让学生发现命题1（α₁β₂－α₂β₁≠0）；
　　③再加一个层次，允许α₁β₂－α₂β₁＝0，让学生再发现命题2．
　　（7）运用建构主义和元认知的观点（不出现名词）进行总结．
　　参考文献
　　1　罗增儒．解题分析——谈错例剖析．中学数学教学参考，1999，12
　　2　赵春祥．思维定势在解题中的消极影响举例．中学教研（数学），1990，6
　　3　赵春祥．从整体结构上解数列题．教学月刊·中学理科版，1998，10
　　4　赵春祥．数列与数列极限中应注意的几个问题．教学月刊·中学理科版，1999，6
　　5　赵春祥．思维定势消极作用例说．中学数学研究（广州），2001，5
　　6　王秀彩．“众所认可”的就一定是“正确”的吗?数学通报，1999，11
　　7　杨浩清主编．数学题误解分析（高中）．南京：东南大学出版社，1996
　　8　唐宗保．浅谈线性组合在中学数学解题中的运用．数学通讯，1996，10
　　9　许育群．解数列与极限问题的几类错误浅析．数理化学习（高中版），1997，22
　　10　屈瑞东．数列极限运算易错两例．数理天地，1999，11
　　11　童其林．例谈待定系数法在解题中的应用．考试，2000，4
　　12　唐宗保．常见非等价变形的成因分析．数学通讯，2001，9