“以错纠错”的案例分析(3)

　　解得　ｘ＝β₂／（α₁β₂－α₂β₁），ｙ＝－β₁／（α₁β₂－α₂β₁）．
　　从而
　　 ［x（α₁ａ_n＋β₁ｂ_n）＋ｙ（α₂ａ_n＋β₂ｂ_n）］
　　＝ｘ （α₁ａ_n＋β₁ｂ_n）＋ｙ （α₂ａ_n＋β₂ｂ_n）
　　＝ｘｃ₁＋ｙｃ₂＝（ｃ₁β₂－ｃ₂β₁）／（α₁β₂－α₂β₁）．
　　即　 ａ_n＝（ｃ₁β₂－ｃ₂β₁）／（α₁β₂－α₂β₁）．
　　同理可确定ｂ_n极限的存在性，并计算出
　　 ｂ_n＝（α₁ｃ₂－α₂ｃ₁）／（α₁β₂－α₂β₁）．
　　（1）取α₁＝3，β₁＝4，ｃ₁＝8，α₂＝6，β₂＝－1，ｃ₂＝1，可得 ａ_n＝4／9， ｂ_n＝5／3．这就是例1．也可以用文［2］正解的方法求出
　　 ａ_n＝ ［（1／27）（3ａ_n＋4ｂ_n）＋（4／27）（6ａ_n－ｂ_n）］
　　＝（1／27） （3ａ_n＋4ｂ_n）＋（4／27） （6ａ_n－ｂ_n）＝8／27＋4／27＝4／9．
　　 ｂ_n＝ ［（2／9）（3ａ_n＋4ｂ_n）－（1／9）（6ａ_n－ｂ_n）］
　　＝（2／9） （3ａ_n＋4ｂ_n）－（1／9） （6ａ_n－ｂ_n）＝16／9－1／9＝5／3．
　　（2）取α₁＝2，β₁＝3，ｃ₁＝5，α₂＝1，β₂＝－1，ｃ₂＝2，这便得例2，有
　　 ａ_n＝（1／5） （2ａ_n＋3ｂ_n）＋（3／5） （ａ_n－ｂ_n）
　　＝1／5×5＋3／5×2＝11／5，
　　 ｂ_n＝（1／5） （2ａ_n＋3ｂ_n）－（2／5） （ａ_n－ｂ_n）
　　＝1／5×5－2／5×2＝1／5．
　　（3）取α₁＝2，β₁＝3，ｃ₁＝7，α₂＝3，β₂＝－2，ｃ₂＝4，这便得例3，确实有 ａ_n＝2， ｂ_n＝1．
　　应该说，求 ａ_n、 ｂ_n与求 （αａ_n＋βｂ_n）道理是一样的，为什么会有这么多的教师长期坚持“ ａ_n、 ｂ_n不一定存在”呢?这除有知识、逻辑因素外，而对多数人来说，恐怕还有一个“人云亦云”，迷信权威、迷信刊物的心理性错误．我们说，失去自信比缺少知识更为可怕．
　　3.反例“ａ_n＝4／3＋ｎ²／3，ｂ_n＝1－ｎ²／4”的错误根源
　　上面已经严格证明了 ａ_n与 ｂ_n的存在性（以α₁β₂－α₂β₁≠0为前提），因而文［2］作者一次又一次重复给出的反例肯定是错误的，问题是应该找出错误的原因，弄清错误的性质．
　　（1）检验可以发现错误
　　把ａ_n＝4／3＋ｎ²／3，ｂ_n＝1－ｎ²／4代入已知条件，有
　　 （3ａ_n＋4ｂ_n）＝ 8＝8．
　　但 （6ａ_n－ｂ_n）＝ （7＋9／4ｎ²）
　　不存在，更不等于1．
　　所以，文［2］的反例并不能成为反例．其之所以成为反例，是作者根据不充分的前提（来验证第2个条件）得出的，逻辑上犯有“不能推出”的错误．
　　（2）误举反例的原因分析
　　①首先是对题目中有两个条件重视不够，在找反例时，主要依据“若 ａ_n、 ｂ_n存在，则 （ａ_n＋ｂ_n）＝ ａ_n＋ ｂ_n，反之不真（思维定势）”．这对只有一个条件是成立的；据此找出的反例也只验证第1个条件，而不验证第2个条件，这可能也是“反之不真”思维定势的负迁移．
　　②其次是对下面的结论不知道，或未认真思考过：
　　命题2　若 （α₁ａ_n＋β₁ｂ_n）＝ｃ₁， （α₂ａ_n＋β₂ｂ_n）＝ｃ₂．
　　则有
　　（ｉ）当α₁β₂－α₂β₁≠0时， ａ_n、 ｂ_n均存在；
　　（ｉｉ）当α₁β₂－α₂β₁＝0且α₁ｃ₂－α₂ｃ₁＝0时，则ａ_n，ｂ_n的极限不一定存在．（文［2］的反例适用这一情况）
　　（ｉｉｉ）当α₁