“以错纠错”的案例分析(2)

　　①×2＋②×3，得
　　13 ａ_n＝26，
　　∴ ａ_n＝2．
　　代入式①，得
　　 ｂ_n＝1．
　　∴　 （2ａ_n＋ｂ_n）＝2 ａ_n＋ ｂ_n＝2×2＋1＝5．
　　正确解法：设ｍ（2ａ_n＋3ｂ_n）＋ｐ（3ａ_n－2ｂ_n）＝ｋ（2ａ_n＋ｂ_n）．
　　其中ｍ，ｐ，ｋ均为待定的整数，则比较ａ_n，ｂ_n的系数得

　　由式①、②消去ｋ，得
　　2ｍ＋3ｐ＝2（3ｍ－2ｐ）＝6ｍ－4ｐ，
　　∴　　4ｍ＝7ｐ．
　　当ｍ，ｐ分别取7和4时，ｋ＝13．
　　∴　2ａ_n＋ｂ_n＝（7／13）（2ａ_n＋3ｂ_n）＋（4／13）（3ａ_n－2ｂ_n）．
　　∴　 （2ａ_n＋ｂ_n）＝（7／13） （2ａ_n＋3ｂ_n）＋（4／13） （3ａ_n－2ｂ_n）＝7／13×7＋4／13×4＝5．
　　错因分析与解题指导：已知 （2ａ_n＋3ｂ_n）＝7， （3ａ_n－2ｂ_n）＝4，并不意味着 ａ_n、 ｂ_n存在，在误解中利用数列极限的运算法则： （ａ_n±ｂ_n）＝ ａ_n± ｂ_n，默认 ａ_n与 ｂ_n存在，这是错误的．要求 （2ａ_n＋ｂ_n），就必须将2ａ_n＋ｂ_n去用（2ａ_n＋3ｂ_n）与（3ａ_n－2ｂ_n）表示出来，为此可以用如正确解答中那样用待定系数法来解．显然ｍ、ｐ的值不是惟一的，但是对不同的ｍ、ｐ之值求得的极限值是相同的，因此可以取使计算较为方便的整数值．（引文完）
　　以上详细引述的3个例子只有数字上的微小区别，而教师（包括评委）的看法是完全一致的．类似的看法还可参见文［8］～［12］．
　　虽然，大家的看法如此一致，如此长久，但文［6］的作者仍能力排众议，大声发问：“由题设，真的不能判断 ａ_n和 ｂ_n是否存在吗?”回答是否定的．教师的“纠错”比学生错得更多．
　　二、案例分析
　　我们以例1为主来进行分析，弄清学生的错误、教师的错误、错误的性质和应吸取的教训等．
　　1.学生解法的认识
　　学生的解法中有两个合理的成分：其一是能紧紧抓住两个已知条件，综合使用；其二是想到运用极限运算法则；得出的极限值也确为所求．
　　缺点是默认了 ａ_n与 ｂ_n的存在；也不会整体使用极限运算法则，这可以从3个方面来分析．
　　（1）知识性错误
　　表现在：没有验证ａ_n与ｂ_n极限的存在性就使用极限运算法则；没有证明或证明不了ａ_n与ｂ_n极限的存在性；还不会变通使用（如借用待定系数法）极限运算法则．
　　（2）逻辑性错误
　　表现为逻辑上的“不能推出”：跳过ａ_n与ｂ_n极限存在性的必要前提，直接使用极限运算法则．但此处仅仅为未验证前提，而并非“前提不真”．对此，“教师”的错误性质比学生的默认更有问题，下面会谈到．
　　（3）心理性错误
　　表现为“潜在假设”，默认ａ_n与ｂ_n极限的存在性，既未想到要证明，更未给出证明．
　　由于在已知条件下，ａ_n与ｂ_n的极限确实存在，所以，学生的错误属于“对而不全”，缺少了关键步骤．
　　这个事实说明，学生的学习过程，是以自身已有的知识和经验为基础的主动建构活动．其“对而不全”的解法，正是学生对该数学问题的一种“替代观念”，是建构活动的一个产物，既有一定的合理性，又需要完善．接下来的反审活动，有助于学生掌握元认知知识，获得元认知体验和进行元认知调控．
　　2.教师认为“不一定保证 ａ_n