二、对偶范畴间相互依存关系的点拨
在数学中，“加”与“减”，“直”与“曲”，特殊与一般，孤立与联系……这每一对范畴的双方相互依存，或明或暗地共处于同一问题的解题过程之中．因此，当我们从范畴的某一方入手问题未能（或取得）突破时，还应想到从范畴的另一方入手再行考察与求索．对范畴双方顾此失彼的思维上的偏颇，是解题陷入困境或出现疏漏的重要原因．
例2 过抛物线ｙ＝ｘ２的顶点Ｏ任作互相垂直的弦ＯＡ、ＯＢ，分别以ＯＡ、ＯＢ为直径作圆，并设两圆的另一交点为Ｃ，求Ｃ点的轨迹方程．
分析与解答：循着求动直（曲）线交点轨迹方程的一般思路，设Ａ（ｘ１，ｘ１２），Ｂ（ｘ2，ｘ2２），Ｃ（ｘ，ｙ），由ＯＡ⊥ＯＢ得
ｘ１ｘ2＝－１．①
以ＯＡ为直径的圆的方程为
ｘ（ｘ－ｘ１）＋ｙ（ｙ－ｘ１２）＝０，即
ｘ２＋ｙ２－ｘ１ｘ－ｘ１２ｙ＝０．②
同理，以ＯＢ为直径的圆的方程为
ｘ２＋ｙ２－ｘ2ｘ－ｘ2２ｙ＝０．③
至此，欲消参数ｘ１、ｘ2，探索中容易想到两式相减．
②－③，得ｘ１＋ｘ2＝－ｘ/ｙ．④
下一步如何动作？至此往往陷入困境．此时，循着辩证思维的途径，由加与减的相互依存，想到再考察②、③两式相加，则局面由此打开．
解法1．②＋③，得２（ｘ２＋ｙ２）－（ｘ１＋ｘ2）ｘ－（ｘ１２＋ｘ2２）ｙ＝０，
２（ｘ２＋ｙ２）－（ｘ１＋ｘ2）ｘ－［（ｘ１＋ｘ2）２－２ｘ１ｘ2］·ｙ＝０．⑤
将①、④代入⑤并整理，得
ｘ２＋ｙ２－ｙ＝０（ｙ≠０）．
故Ｃ点的轨迹方程为
ｘ２＋（ｙ－１/２）２＝１/４（ｙ≠０）．
事实上，当我们孤立考察动圆的方程而导出②、③两式后，根据范畴间的相互依存关系，可转而去寻觅两圆方程间的内在联系．这种联系一经发现，新的解法便随之产生．
解法2．注意到这里ｙ≠０，考察②、③两式的联系，知ｘ１、ｘ2是二次方程ｙｔ２＋ｘｔ－（ｘ２＋ｙ２）＝０的两实根，由韦达定理得ｘ１ｘ2＝－（ｘ２＋ｙ２）/ｙ． ⑥
于是由①、⑥得Ｃ点的轨迹方程为
ｘ２＋（ｙ－１/２）２＝１/４（ｙ≠０）．
“直”与“曲”是辩证的统一．面对所给的曲线问题，分析问题的特殊性，发掘问题中与曲线相互依存的直线．这样的直线一经揭露，化“曲”为“直”的解法便应运而生．
解法3．由圆的性质知ＡＣ⊥ＯＣ，ＢＣ⊥ＯＣ．
∴ Ａ、Ｂ、Ｃ三点共线，且ＯＣ⊥ＡＢ．
设过点Ｏ且垂直ＡＢ的直线为ｌ，则Ｃ点的轨迹即为动直线ＡＢ与ｌ的交点的轨迹（化曲为直）．
ｋAB＝ｘ１＋ｘ2，直线ＡＢ的方程为ｙ－ｘ１２＝（ｘ１＋ｘ2）（ｘ－ｘ１）．
以①代入上式得ｙ－１＝（ｘ１＋ｘ2）ｘ，⑦
又直线ｌ的方程为ｙ＝（－１/（ｘ１＋ｘ2））ｘ． ⑧
⑦×⑧并整理，得ｘ２＋ｙ２－ｙ＝０（ｙ≠０）．故Ｃ点的轨迹方程为
ｘ2＋（ｙ－１/２）２＝１/４（ｙ≠０）．
三、对偶范畴间相互贯通关系的诱导
分析问题是解决问题的前提和基础．分析的方法就是辩证的方法（毛泽东语）．范畴间相互贯通的辩证关系，为解题思路的发现提供线索，为数学问题的转换变通提供依据．其中，特殊与一般是最为重要的一对范畴．就认识的过程来说，人们总是从事物的特殊性入手去认识事物的一般性，而当人们掌握了事物的一般属性之后，又能以一般性为指导去认识尚未认知的其他特殊性质．人们对事物的认识由此一步步引向纵深．
例3 对于二次曲线Ｃk：ｘ２/（９－ｋ）＋ｙ２/（４－ｋ）＝１，证明：任取平面上一点（ａ，ｂ）（ａｂ≠０），总有Ｃk中一个椭圆和一个双曲线通过．
分析（特殊探路）：取点（1，1）代入Ｃk并整理，得ｋ２－１１ｋ＋２３＝０，解得
ｋ１＝（１１－）/２∈（－∞，４），
ｋ2＝（１１＋）/２∈（４，９）．
由此可知，对于ｋ＝ｋ１，Ｃk表示椭圆；对于ｋ＝ｋ2，Ｃk表示双曲线．